“紧致元素”基本解释
拼音：jǐn zhì yuán sù
简介
在数学领域的序理论中，偏序集合的紧致或有限元素是还未包含在紧致元素之上的成员的任何非空有向子集的上确界所不能包容的那些元素。
注意在数学中还有其他的紧致性概念，还有在常见的集合论中的术语有限的意义不一致于序理论的“有限元素”的概念。
形式定义
在偏序集合 (P,≤) 中，元素 c 被称为是紧致的(或有限的)，如果它满足下列等价的条件中的一个:
对于 P 的所有非空有向子集 D，如果 D 有上确界 sup(D) 且 c ≤ sup(D) ，则有 D 的某个元素 d 使得 c ≤ d。
对于 P 的所有理想 I，如果 I 有上确界 sup(I) 且 c ≤ sup(I)，则 c 是 I 的一个元素。
如果此外偏序集合 P 还是并半格 (就是说它有二元上确界)则这些条件等价于声称:
对于 P 的任何非空子集 S，如果 S 有上确界 sup(S) 且 c ≤ sup(S)，则有 S 的某个有限子集 T 使得 c ≤ sup(T)。
特别是，如果 c = sup(S)，则 c 是 S 的有限子集的上确界。
从定义涉及的概念可轻易的验证等价性。对并半格的情况要注意任何集合通过闭合在有限(非空)上确界下变成带有相同上确界的有向集合。
在考虑有向完全偏序或完全格的时候，规定上确界存在的额外的要求可以去掉。还要注意是有向完全的并半格几乎就是完全格(可能缺乏最小元) -- 详情参见完全性 (序理论)。
如果存在的话，偏序集合的最小元总是紧致的。它可能是唯一的紧致元素，比如实数的单位区间 [0,1]。
